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(本小题满分13分)已知数列{an},定义n∈N+)是数列{an}的倒均数.   (1)若数列{an}的倒均数是,求数列{an}的通项公式;(2)若等比数列{bn}的首项为–1,公比为q =,其倒均数为Vn,问是否存在正整数m,使得当nm(n∈N+)时,Vn<–16恒成立?若存在,求m的最小值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)   (Ⅱ)  m = 7.
      (1)由  ①………1分
n = 1时,,∴a1 = 1.……2分
n≥2时,  ②
①– ②得,即,∴………分
(2)bn =,
……8分
Vn<–16得.即n
n = 6时,26 <16×6 +1,当n = 7时,27 = 128,16×7 + 1 = 113,27>16×7 + 1.
下面证当n≥7(n∈N+)时,成立.…10分
1°当n = 7时,已证;  2°假设当n = k时,2k>16k + 1成立,
n = k + 1时,=16k + 16k + 2 >16k + 16 +1 = 16(k + 1) + 1
这就是说,当n = k + 1时,结论也成立.
由1°,2°可知,当n≥7时,2n>16n + 1成立.故m的最小值为m = 7.
此题也可用导数法证成立.………13分
练习册系列答案
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