Question

17．已知函数f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若对于任意x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，都有|f（x）-m|＜2成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由x的范围可得f（x）的范围，由恒成立可得m＜[f（x）+2]_min且m＞[f（x）-2]_max，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递减区间：[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴f（x）∈[2，3]，
由|f（x）-m|＜2可得-2＜f（x）-m＜2，
∴f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立．
∴m＜[f（x）+2]_min=4，且m＞[f（x）-2]_max=1．
故m的取值范围是（1，4）．

点评 本题考查正弦函数的图象和性质，考查了三角函数的恒等变形，涉及恒成立问题，属中档题．