Question

有以下四个命题：
①f（x）=

1

x

在[0，1]上连续；
②若f（x）是（a，b）内的连续函数，则f（x）在（a，b）内有最大值和最小值；
③

lim

x→ π 2

2sin2x

cosx

=4；
④若f（x）=

x (x≥0) x+1 (x＜0).

则

lim

x→0

f（x）=0．
其中正确命题的序号是

 

．（请把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①f（x）=

1

x

在x=0处无意义，故不正确；②举例说明即可，与若f（x）是[a，b]内的连续函数，则f（x）在[a，b]内有最大值和最小值矛盾；③属于

0

0

型的求极限，根据罗比特法则即可求得结果；④f（x）=

x           (x≥0) x+1         (x＜0).

求出其左右极限，看是否相等，如果相等且为0，就正确，否则不正确．

解答：解：①f（x）=

1

x

的定义域是{x|x≠0}，故①不正确；
②如函数f（x）=x在区间（1，2）上连续，但是既没有最大值也没有最小值；故②不正确；
③

lim

x→ π 2

2sin2x

cosx

=

lim

x→ π 2

4cos2x

-sinx

=4

cos2× π 2

-sin π 2

=4，故③正确；
④

lim

x→x0+

f（x）=0，

lim

x→x0-

f（x）=0+1=1
∴

lim

x→0

f（x）不存在．
故答案为③．

点评：此题是个容易题．考查函数的连续性和极限及其运算，判断命题真假，如果说明它是正确的，必须给以证明，反之，举出反例即可．考查学生分析问题、解题问题的能力．