Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2， M为OA的中点，N为BC的中点。

（1） 证明：直线MN∥平面OCD；
（2） 求异面直线AB与MD所成角的大小；
（3） 求点B到平面OCD的距离。

Answer 1

（1）证明：取OB中点E，连结ME，NE，
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD，
又∵NE∥OC，
∴平面MNE∥平面OCD，
∴MN∥平面OCD。
（2）解：∵CD∥AB，
∴∠MDC（或其补角）为异面直线AB与MD所成的角，
作AP⊥CD于P，连结MP，
∵OA⊥平面ABCD，
∴CD⊥MP，
∵∠ADP=，
∴DP=，
∵MD=，
∴cos∠MDP=，∠MDC=∠MDP=，
所以AB与MD所成角的大小为。
（3）解：∵AB∥平面OCD，
∴点A和点B到平面OCD的距离相等，
作AP⊥DC于P，
又OA⊥DC，
∴CD⊥平面OAP，CD平面OCD，
∴平面ODC⊥平面OAP，
又∵OP为平面OAP与平面OCD的交线，
在平面OAP内作AH⊥OP于H，
∴AH⊥平面OCD，
在Rt△OAP中，
，
∴点B到平面OCD的距离是。