Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中点．
（1）求证：平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）若AA1=

2

，AB=2，求点A到平面BEC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，知AA₁⊥平面ABC，BE⊥AA₁．由△ABC是正三角形，E是AC中点，知BE⊥平面ACC₁A₁．由此能够证明平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁．
（2）由题意知，点A到平面BEC₁的距离即点C到平面BEC₁的距离，过点C作CH⊥C₁E于点H，则可证CH⊥平面BEC₁，故CH为点C到平面BEC₁的距离，由等面积可得结论；

解答：证明：（1）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴BE⊥AA₁．
∵△ABC是正三角形，E是AC中点，
∴BE⊥AC，
∴BE⊥平面ACC₁A₁．
∴BE?平面BEC₁
∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁
解：（2）由题意知，点A到平面BEC₁的距离即点C到平面BEC₁的距离
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴BE⊥平面ACC₁A₁，
∵BE?平面BEC₁，
∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁，
过点C作CH⊥C₁E于点H，则CH⊥平面BEC₁，
∴CH为点C到平面BEC₁的距离
在直角△CEC₁中，CE=1，CC₁=

2

，C₁E=

3

，
∴由等面积法可得CH=

6

3

∴点A到平面BEC₁的距离为

6

3

点评：本题考查线面平行，考查点到面的距离，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确作出表示点面距离的线段，属于中档题．