Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，），且离心率为．
（ I）求椭圆的标准方程；
（ II）过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同两点P、Q，点N在线段PQ上．设==λ，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），
因为它的一个顶点为A（0，），所以b²=2，由离心率等于，
得=，解得a²=8，
所以椭圆的标准方程为．
（ II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
①若直线l与y轴重合，则==λ?==λ，解得y₀=1，得λ=；
②若直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y=kx+2，
与椭圆方程联立消去y，得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
根据韦达定理得，x₁+x₂=-，x₁x₂=，（*）
由==λ，得，
整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），把上面的（*）式代入得，
又点N在直线y=kx+2上，所以，于是由图象知1＜y₁＜，
-1，由1＜y₁＜，得＞+1，所以．
综上所述，．
分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为程（a＞b＞0），由题设条件求出b²和a²，由此可以求出椭圆的标准方程；
（ II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），分两种情况讨论：①若直线l与y轴重合，此时λ易解得；②若直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得一元二次方程，由韦达定理及==λ可得，进而可求出y₀值，结合图象可得1＜y₁＜，再由λ与y₁的关系即可求得λ的取值范围；
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大．