Question

（文）已知数列{a_n}满足a₁=2，前n项和为S_n，an+1=

pan+n-1(n为奇数) -an-2n(n为偶数)

．
（1）若数列{b_n}满足b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），试求数列{b_n}前3项的和T₃；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_2n，p=

1

2

，求证：{c_n}是为等比数列；
（3）当p=

1

2

时，对任意n∈N^*，不等式S2n+1≤log

1

2

(x2+3x)都成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），结合  an+1=

pan+n-1(n为奇数) -an-2n(n为偶数)

可得数列{b_n}是一个等差数列，利用求和公式即可求解
（2）当p=

1

2

时，由cn+1=a2n+2=

1

2

p2n+1+2n=

1

2

(-a2n-4n)+2n=-

1

2

cn可证
（3）：由（2）可知，b_n=a_2n+a_2n+1=-4n，所以{b_n}成等差数列，p=

1

2

时a2n=cn=(-

1

2

)n-1，则S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）S_2n+1=a₁+b₁+b₂+…+b_n=-2n²-2n+2（n≥1），结合{S_2n+1}单调性可求最大值，而S2n+1≤log

1

2

(x2+3x)都成立，即S_2n+1最大值≤log

1

2

(x2+3x)，解不等式可求x

解答：解：（1）据题意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，
所以{b_n}成等差数列，故Tn=

-4-4n

2

•n=-2n（n+1）（4分）
∴T₃=-24
证明：（2）因为cn+1=a2n+2=

1

2

p2n+1+2n=

1

2

(-a2n-4n)+2n=-

1

2

cn
所以

cn+1

cn

=-

1

2

故当p=

1

2

时，数列{c_n}是首项为1，公比为-

1

2

等比数列；
∴Cn=(-

1

2

)n-1
解：（3）b_n=a_2n+a_2n+1=-4n，所以{b_n}成等差数列
∵当p=

1

2

时a2n=cn=(-

1

2

)n-1
因为S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n
=2+（-4-8-12-…-4n）=2-

4+4n

2

•n
=-2n²-2n+2（n≥1）
又S_2n+3-S_2n+1=-4n-4＜0
所以{S_2n+1}单调递减
当n=1时，S₃最大为-2
所以-2≤log

1

2

(x2+3x)
∴

x2+3x＞0 x2+3x≤4

⇒x∈[-4，-3)∪(0，1]

点评：本题考查的知识点是等比关系的确定，数列的求和，其中熟练掌握等差数列、等比数列的定义，能熟练的判断一个数列是否为等差（比）数列是解答本题的关键．