Question

（2011•聊城一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），数列{b_n}是等差数列，且b₁=3，b₁₀-b₄=6
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式，由数列{b_n}是等差数列，且b₁=3，b₁₀-b₄=6知{b_n}的通项公式易求，由S_n=2a_n-2（n∈N^*），再构造出S_n+1=2a_n+1-2（n∈N^*），作差，寻求数列{a_n}相邻项间的关系，研究其性质．
（Ⅱ）设cn=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．由数列{c_n}的通项的性质发现，求解此题要用错位相减法．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2（n∈N^*），∴S_n+1=2a_n+1-2（n∈N^*），两式相减得a_n+1=2a_n+1-2a_n，
∴a_n+1=2a_n，又S₁=2a₁-2，a₁=2，故数列{a_n}是首项为2，公比是2的等比数列，
数列{a_n}的通项公式是a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∵数列{b_n}是等差数列，且b₁=3，b₁₀-b₄=6
∴6d=6，d=1，
∴b_n=n（n∈N^*），
（Ⅱ）cn=

bn

an

=

n

2n

，
∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

①，

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
①-②得∵

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

点评：本题考查等差等比数列的综合，考查了等差数列的通项公式以及数列的递推式推证数数列的通项，本题第二问采用了错位相减法求和，如果一个数列的项是由一个等差数列的项与一个等比数列的相应项乘积组成，即可用错位相减法求和．本题易因错位相减时规则不熟悉出错，要好好研究．