Question

已知函数.

（Ⅰ）若在上单调递减，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，求函数的极小值；

（Ⅲ）若存在实数使在区间且上有两个不同的极值点，求的最小值.

Answer 1

Ⅰ）;（Ⅱ）的极小值为;（Ⅲ）3.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）,由题意可得在上恒成立；，                

即，求得函数在的最小值即可；     

（Ⅱ）当时，，求得令，解得或（舍），即，当时，，当时，，的极小值为；    

（Ⅲ）原题等价于在且上有两个不等的实数根；由题意可知，即在上有两个不等实根，令，在上有两个不等实根，根据二次函数根的分别列出不等式组，即可求出的最小值. 

试题解析：（Ⅰ）,由题意可得在上恒成立；

∴，                

∵，∴，                    

∴时函数的最小值为，

∴                                          

 （Ⅱ）  当时，

                     

令得，

解得或（舍），即            

当时，，当时，

∴的极小值为         

（Ⅲ）原题等价于在且上有两个不等的实数根；

由题意可知      

即在上有两个不等实根.          

令，

∵，根据图象可知：

，整理得                   -

即，解得，

∴的最小值为.