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    已知数列满足：， ，记，为数列的前项和.

    ⑴证明数列为等比数列，并求其通项公式；

    ⑵若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围；

    ⑶令，证明：.

     

     

     

     

    【答案】

     解：⑴因为，由已知可得，

    又，则.

    所以数列是首项和公比都为的等比数列，故.

    ⑵因为若对任意且，不等式恒成立，则，故的取值范围是.

    ⑶因为，

    则

    当时，，即；

    当时，，即；

    当时，，即.

    所以数列的最大项是或，且，故.

    有，相加即得证

     

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    2
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    )+F(
    2
    2013
    )+F(
    3
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    )+…+F(
    2012
    2013
    )    ；
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    （Ⅱ）设，求数列的通项公式；

    （Ⅲ）设，不等式恒成立时，求实数的取值范围.

     

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