Question

已知a＞b＞0，e₁，e₂分别是圆锥曲线

x2

a2

+

y2

b2

=1和

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率，设m=lne₁+lne₂，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据a＞b＞0推断出0＜

b

a

＜1，进而利用椭圆和双曲线的性质分别表示出e₁和e₂，进而求得e₁e₂的表达式，求得e₁e₂的范围，代入m=lne₁+lne₂中求得m的范围．

解答：解：由条件得：0＜

b

a

＜1，e1=

a2-b2

a

，e2=

a2+b2

a

，
则e1•e2=

a4-b4

a2

=

1-( b a )4

∴0＜e₁e₂＜1，
所以m=lge₁+lge₂=lg（e₁e₂）＜0．
故答案为：（-∞，0）

点评：本题主要考查了椭圆与双曲线的性质．考查了圆锥曲线中离心率的问题，一般是需要挖掘已知条件的信息求得a和c的关系．