Question

8．已知-2≤x≤2，-2≤y≤2，点P的坐标为（x，y）
（1）求当x，y∈Z时，点P满足（x-2）²+（y-2）²≤4的概率；
（2）求当x，y∈R时，点P满足（x-2）²+（y-2）²≤4的概率．

Answer 1

分析 （1）因为x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，且（x-2）²+（y-2）²≤4的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率．
（2）因为x，y∈R，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求区域为正方形ABCD的面积以及（x-2）²+（y-2）²≤4的点的区域即以（2，2）为圆心，2为半径的圆的面积，然后求比值即为所求的概率．

解答 解：如图，点P所在的区域为长方形ABCD的内部（含边界），
满足（x-2）²+（y-2）²≤4的点的区域为以（2，2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）．

（1）当x，y∈Z时，满足-2≤x≤2，-2≤y≤2的点有25个，
满足x，y∈Z，且（x-2）²+（y-2）²≤4的点有6个，
依次为（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）；
∴所求的概率P=$\frac{6}{25}$．
（2）当x，y∈R时，
满足-2≤x≤2，-2≤y≤2的面积为：4×4=16，
满足（x-2）²+（y-2）²≤4，且-2≤x≤2，-2≤y≤2的面积为：$\frac{1}{4}π•{2}^{2}$=π，
∴所求的概率P=$\frac{\frac{1}{4}π•{2}^{2}}{4×4}$=$\frac{π}{16}$．

点评 本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．