Question

12．已知集合M是同时满足如下条件的函数f（x），x∈D的全体：
①f（x）在D上单调递增或单调递减：
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]．
（1）求函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数y=3x-1gx是不是集合M的元素？若是，请求出区间[a．b]；若不是，请说明理由；
（3）若函数y=k+$\sqrt{x+2}$是集合M的元素，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的单调性建立条件关系即可求出a，b．
（2）函数y=3x-lgx不是单调函数，不满足条件．
（3）判断函数的单调性，建立条件关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数y=-x³，为减函数，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=b}\\{f（b）=a}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{3}=b}\\{-{b}^{3}=a}\end{array}\right.$，
∴当a=-1，b=1时，满足条件即符合条件②的区间为[-1，1]；
（2）∵y=3x-1gx的定义域为（0，+∞），
∴函数y=3x-1gx在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件①，故函数y=3x-1gx不是集合M的元素．
（3）若函数y=k+$\sqrt{x+2}$是集合M的元素，则函数的定义域为[-2，+∞），若存在区间[a，b]，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k+\sqrt{a+2}=a}\\{k+\sqrt{b+2}=b}\end{array}\right.$，
即k+$\sqrt{x+2}$=x，则[-2，+∞）上有两个不同的根，
即k=x-$\sqrt{x+2}$，
设g（x）=x-$\sqrt{x+2}$，
则g（x）=x-$\sqrt{x+2}$=（$\sqrt{x+2}$）²-$\sqrt{x+2}$-2=（$\sqrt{x+2}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
设t=$\sqrt{x+2}$，则t≥0，
即y=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
要使k=x-$\sqrt{x+2}$有两个不同的交点，
则-$\frac{9}{4}$＜k≤-2．

点评 本题主要考查了函数的单调性的综合应用，方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用，综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思想．