[题目]设三角形的三边长分别为3,4,5.P是三角形内的一点.则点P到这个三角形三边的距离的积的最大值是 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】设三角形的三边长分别为3,4,5，P是三角形内的一点，则点P到这个三角形三边的距离的积的最大值是________.

【答案】

【解析】

由勾股定理的逆定理推知该三角形为直角三角形．如图，将△ABC的面积转化为三个三角形的面积之和的形式，根据题意列出不等式，通过解不等式求得答案即可．

如图，∵三角形三边长为3，4，5，

∴32+42=52，

∴△ABC是直角三角形．

设P到长度为3，4，5的三角形三边的距离分别是 x，y，z，三角形的面积为S．

则S=（3x+4y+5z）=×3×4，即3x+4y+5z=12，

∵12=3x+4y+5z≥3×，（当且仅当3x=4y=5z=4时等号成立），

∴xyz≤．

∴P到这三角形三边距离乘积的最大值是．

故答案为.

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