【题目】设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若 =3n﹣1,求数列{bn}的前n项和Tn .
【答案】解:(I)∵an+1=2Sn+1,∴an=2Sn﹣1+1,(n≥2), 两式相减得:an+1﹣an=2an , 即 =3.
又n=1时,a2=2a1+1=3,∴ ,
∴{an}是以1为首项,以3为公比的等比数列.
∴an=3n﹣1 .
(II)bn=(3n﹣1)an=(3n﹣1)3n﹣1 ,
∴Tn=230+531+832+…+(3n﹣1)3n﹣1 , ①
∴3Tn=231+532+833+…+(3n﹣1)3n , ②
∴﹣2Tn=2+32+33+34+…+3n﹣(3n﹣1)3n
= ﹣1﹣(3n﹣1)3n=( )3n﹣ ,
∴Tn=( ﹣ )3n+ .
【解析】(I)由条件得an=2Sn﹣1+1(n≥2),与条件式相减可得 =3,再验证 即可得{an}为等比数列,从而求出通项公式;(II)化简得bn=(3n﹣1)3n﹣1 , 使用错位相减法求和即可.
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本,需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】设直线l:y=2x﹣1与双曲线(,)相交于A、B两个不
同的点,且(O为原点).
(1)判断是否为定值,并说明理由;
(2)当双曲线离心率时,求双曲线实轴长的取值范围.
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【题目】已知圆心在轴非负半轴上,半径为2的圆C与直线相切.
(1)求圆C的方程;
(2)设不过原点O的直线l与圆O:x2+y2=4相交于不同的两点A,B.①求△OAB的面积的最大值;②在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l的方程为mx+ny=1,且此时△OAB的面积恰好取到①中的最大值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料200 kg,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.
(1)该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少?
(2)若提供饲料的公司规定:当一次购买饲料不少于5 t时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%).该厂是否可以考虑利用此优惠条件?请说明理由.
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【题目】函数f(x)=3sin(2x﹣ )的图象可以由y=3sin2x的图象( )
A.向右平移 个单位长度得到
B.向左平移 个单位长度得到
C.向右平移 个单位长度得到
D.向左平移 个单位长度得到
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【题目】下列选项中,说法正确的是( )
A.命题“?x0∈R,x02﹣x0≤0”的否定为“?x∈R,x2﹣x>0”
B.命题“在△ABC中,A>30°,则sinA> ”的逆否命题为真命题
C.设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的充分必要条件
D.若非零向量 、 满足| + |=| |+| |,则 与 共线
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣2ax(其中a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x)≤1恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)设g(x)=f(x)+ x2 , 且函数g(x)有极大值点x0 , 求证:x0f(x0)+1+ax02>0.
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