Question

【题目】已知圆心在轴非负半轴上，半径为2的圆C与直线相切.

(1)求圆C的方程；

(2)设不过原点O的直线l与圆O:x2+y2=4相交于不同的两点A，B.①求△OAB的面积的最大值;②在圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l的方程为mx+ny=1，且此时△OAB的面积恰好取到①中的最大值?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）① 2 ② .

【解析】

(1)设出圆心坐标，根据点到直线距离求得圆心，进而得到圆的方程。

(2)设圆心到直线AB的距离，根据三角形面积公式和基本不等式即可求得面积的最大值；根据点M在圆上，及点到直线距离等于半径即可求得M的坐标。

(1)设圆心是(x0，0)()，它到直线的距离是

解得或(舍去)

∴所求圆C的方程是.

(2)①设圆心O到直线的距离为

则△OAB的面积

当且仅当时等号成立

∴△OAB的最大面积为2.

②由题得即即

∴存在满足要求的点M，其坐标是,