Question

【题目】设椭圆E： （a＞b＞0）的左、右焦点F1、F2 ， 其离心率e= ，且点F2到直线 =1的距离为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点P（x0 ， y0）是椭圆E上的一点（x0≥1），过点P作圆（x+1）2+y2=1的两条切线，切线与y轴交于A、B两点，求|AB|的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），

依题意有 ， ．

又∵a2=b2+c2，∴c=1，a=2，b= ，

∴椭圆E的方程为： ．

（2）

解：如图设圆的切线PM的方程为y=k（x﹣x0）+y0

由圆心（﹣1，0）到PM的距离为1，

|y0﹣k（x0+1）|= （x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0

令y=k（x﹣x0）+y0中x=0，y=y0﹣kx0

∴A（0，y0﹣kx0）．

设圆的切线PN的方程为y=k1（x﹣x0）+y0．

同理可得B（0，y0﹣k1x0）

依题意k1，k是方程（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0的两个实根，

k1+k= ，k1k=

|AB|2=[x0（k﹣k1）]2= = ．

∵ ，∴|AB|2=1+ =1+

∵1≤x0≤2，∴|AB|2=1+ ．

∴|AB|的取值范围为[ ]

【解析】（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意有 ， ．可得c=1，a=2，b= ， （2）如图设圆的切线PM的方程为y=k（x﹣x0）+y0 ， 由圆心（﹣1，0）到PM的距离为1，|y0﹣k（x0+1）|= （x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0，A（0，y0﹣kx0）．设圆的切线PN的方程为y=k1（x﹣x0）+y0 ， 同理可得B（0，y0﹣k1x0），依题意k1 ， k是方程（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0的两个实根，|AB|2=[x0（k﹣k1）]2= = ．由 ，得|AB|2=1+ =1+ ．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．