Question

【题目】设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝，且a1，a2＋1，a3成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记数列的前n项和为Tn，求证： Tn＜1．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（Ⅰ）由已知数列递推式得到an=2an﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列的通项公式，再由等比数列的前n项和求得T，再利用单调性求出T的范围.

(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.

又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.

所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．

故an＝2n.

(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.

由1－.在自然数集上递增，可得n=1时取得最小值，

且1－＜1，

则≤Tn＜1．