Question

【题目】已知函数.

(Ⅰ)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；

(Ⅱ)若，证明： ，总有.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ)见解析.

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，若函数存在单调递减区间,则导函数存在小于0的取值区间，不等式变形后，问题转化为存在取值区间，求出a的范围即可；

（Ⅱ）问题转化为证对x∈恒成立，构造辅助函数g（x）=e2x+1-（2x+2），x∈[1，]，求导，利用函数单调性证明；构造辅助函数h(x)＝，求导，根据函数单调性证明；并且g（x）和h（x）不能同时取等号，即可证明不等式，恒成立.故原不等式恒成立.

(Ⅰ)由题意得，

若函数存在单调减区间，则。

即存在取值区间，即存在取值区间，

所以.

(Ⅱ)当时，

由有，从而，

要证原不等式成立，只要证对恒成立

即证明对恒成立

首先令，由，可知，

当时单调递增，当时单调递减，

所以，有

构造函数，，

因为，

可见，在时，，即在上是减函数，

在时，，即在上是增函数，

所以,在上，，所以.

所以，，等号成立当且仅当时，

综上：，由于取等条件不同，

故，所以原不等式成立.