Question

【题目】在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如图．

(1)若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF；

(2)求二面角C－AB－F的正切值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据平面几何知识在空间几何体中可证得AG⊥FB，同时可得EF⊥平面ABF，进而得AG⊥EF，于是可得AG⊥平面BCEF．（2）根据二面角平面角的定义并结合三垂线法作出二面角的平面角，再通过解三角形得到所求的正切值．

(1)因为AF＝BF，∠AFB＝60°，

所以△AFB为等边三角形．

又G为FB的中点，

所以AG⊥FB.

在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，

所以EF⊥AB.

于是EF⊥AF，EF⊥BF，

又,

所以EF⊥平面ABF，

因为平面ABF，

所以AG⊥EF.

又，

所以AG⊥平面BCEF.

(2)如图，连接CG，

因为在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4，E、F分别是CD、AB中点，G为FB的中点，

所以EC＝FG＝BG＝1，

从而CG∥EF.

因为EF⊥平面ABF，

所以CG⊥平面ABF.

过点G作GH⊥AB于H，连结CH，

由三垂线定理可得CH⊥AB，

所以∠CHG为二面角C－AB－F的平面角.

在Rt△BHG中，BG＝1，∠GBH＝60°，

所以GH＝.

在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝，

所以CG＝1.

在Rt△CGH中，可得tan∠CHG，

所以二面角C－AB－F的正切值为.