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    设向量
    OM
    =(-
    		3
    ，1)    ，向量
    ON
    =(cosα，-sinα)(0＜α＜n)
    （1）若向量
    OM
    ⊥
    ON
    ，求tanα的值；
    （2）求|
    MN
    |    的最大值及此时α的值．
    分析：（1）利用向量
    OM
    ⊥
    ON
    ，推出
    OM
    •
    ON
    =0    ，得到 关于cosα，sinα的关系式，然后求tanα的值；
    （2）表示出|
    MN
    |    ，化为一个角的一个三角函数的形式，根据0＜α＜π，求|
    MN
    |    的最大值及此时α的值．
    解答：解：（1）由于 向量
    OM
    ⊥
    ON
    ，
    ∴
    OM
    •
    ON
    =0    ，
    则-
    		3
    cosα-sinα=0，（3分）
    显然cosα≠0，两边同时除以cosα得，tanα=-
    		3
    ；（6分）
    （2）由于|
    MN
    |    =
    		(cosα+
    		3
    )2+(-sinα-1)2
    ，（8分）
    即|
    MN
    |    =
    		5+4sin(α+
    π
    3
    )
    由于0＜α＜π，则
    π
    3
    ＜α+
    π
    3
    ＜
    4π
    3
    （11分）
    则α+
    π
    3
    =
    π
    2
    ，即α=
    π
    6
    时，|
    MN
    |    最大值为3．
    点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，考查学生运算能力，三角函数的值域，是中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，-
    		3
    )    和F2(0，
    		3
    )    为焦点、离心率为
    		3
    2
    的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量
    OM
    =
    OA
    +
    OB
    ．求：
    （Ⅰ）点M的轨迹方程；
    （Ⅱ）|
    OM
    |    的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，设椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（a＞b＞0）的上、下顶点为S，T点E在椭圆上且异于S，T两点，直线SE与TE的斜率之积为-4O为坐标原点
    （1）求椭圆的离心率；
    （2）若椭圆以F1（0，-
    		3
    ）和F2（0，
    		3
    ）为焦点，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且向量
    OM
    =
    OA
    +
    OB
    求：点M的轨迹方程及|OM|的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•昌平区一模）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为(-
    		3
    ，0)    ，离心率为
    		3
    2
    ．设直线l与椭圆C有且只有一个公共点P，记点P在第一象限时直线l与x轴、y轴的交点分别为A、B，且向量
    OM
    =
    OA
    +
    OB
    ．
    求：
    （I）椭圆C的方程；
    （II）|
    OM
    |    的最小值及此时直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•上海）定义向量
    OM
    =（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
    OM
    =（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
    （1）设g（x）=3sin（x+
    π
    2
    ）+4sinx，求证：g（x）∈S；
    （2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
    （3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量
    OM
    的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．

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