Question

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下顶点为S，T点E在椭圆上且异于S，T两点，直线SE与TE的斜率之积为-4O为坐标原点
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆以F₁（0，-

3

）和F₂（0，

3

）为焦点，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且向量

OM

=

OA

+

OB

求：点M的轨迹方程及|OM|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用直线SE与TE的斜率之积为-4，建立方程，结合E在椭圆上，即可求得离心率；
（2）利用相关点法求轨迹方程，|OM|用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．

解答：解：（1）设E（x₀，y₀），由S（0，a），T（0，-a），直线SE与TE的斜率之积为-4，可得

y0-a

x0

•

y0+a

x0

=-4
∴y02-a2=-4x02
∵

y02

a2

+

x02

b2

=1，∴-

a2

b2

•x02=-4x02
∵x₀≠0，∴

a2

b2

=4，∴e2=

3

4

，∴e=

3

2

；
（2）由（1）c=

3

，a=2，∴b=1，∴曲线C的方程为：x2+

y2

4

=1（x＞0，y＞0），即y=2

1-x2

（0＜x＜1）
∴y′=-

2x

1-x2

设P（x₀，y₀），因P在C上，有0＜x₀＜1，y₀=2

1-x02

∴切线AB的方程为：y=-

4x0

y0

（x-x₀）+y₀．
设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=

1

x0

，y=

4

y0

∵

OM

=

OA

+

OB

，∴得M的坐标为（x，y），由x₀，y₀满足C的方程，得点M的轨迹方程为：

1

x2

+

4

y2

=1（x＞1，y＞2）
∵|

OM

|²=x²+y²，y²=4+

4

x2-1

，∴|

OM

|²=x²-1+

4

x2-1

+5≥4+5=9．
当且仅当x²-1=

4

x2-1

，即x=

3

＞1时，上式取等号．
∴|OM|的最小值为3．

点评：本题考查椭圆的离心率，考查轨迹方程的求解，考查基本不等式的运用，表示出|OM|是关键．