Question

已知圆C：（x-4）²+y²=4，圆D的圆心D在y轴上，且与圆C外切，圆D交y轴于A、B两点（A在B的上方），点P为（-3，0）．
（1）若D（0，3），求∠APB的正切值；
（2）若D在y轴上运动，当D在何位置时，tan∠APB最大？并求出最大值；
（3）在x轴上是否存在点Q，使当D在y轴上运动时，∠AQB为定值？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中圆C：（x-4）²+y²=4，点D（0，3），可求出CD的长，进而求出圆D的半径，求出A，B两点坐标后，即可求得∠APB的正切值；
（2）设D点坐标为（0，t），可以求出对应的圆D的半径和A，B两点的坐标，进而求出∠APB正切的表达式，求出其最值后，再根据正切函数的单调性，求出∠APB的最大值；
（3）假设存在点Q（x，0），根据∠AQB是定值，我们构造关于x的方程，若方程有解，则存在这样的点，若方程无实根，则不存在这样的点．

解答：解：（1）由圆C：（x-4）²+y²=4，知C（4，0），圆C的半径为2．…（1分）
又圆C与圆D外切，D（0，3），
∴|CD|=

42+32

=5，圆D的半径R=5-2=3，…（3分）
而圆D截y轴于（0，6）、（0，0）两点，不妨设A（0，6），B（0，0）
∴tan∠APB=

|OA|

|OP|

=

6

3

=2． …（4分）
（2）当D在y轴上运动时，令D（0，t），|CD|=

t2+16

，
圆D的半径R=

t2+16

-2，A（0，t+R），B（0，t-R），…（5分）
∠APB=∠APC-∠BPC，
∴tan∠APB=

t+R 3 - t-R 3

1+ t+R 3 • t-R 3

…（7分）
=

6R

9+t2-R2

=

6 t2+16 -12

4 t2+16 -11

=

3

2

+

9 2

4 t2+16 -11

…（8分）
≤

3

2

+

9 2

4 16 -11

=

3

2

+

9

10

=

12

5

…（9分）
当D为（0，0）时，tan∠APB最大，最大值为

12

5

； …（10分）
（3）设Q（x，0），所以可得tan∠AQB=

2Rx

x2+t2-R2

=

2x t2+16 -4x

4 t +16 +x2-20

为常数?

2x

4

=

-4x

x2-20

，…（11分）
即x=2

3

或x=-2

3

或x=0．   …（12分）
但当x=0时，若A、B分别在x轴两旁时，∠AQB=180°，
若A、B都在x轴同旁时，∠AQB=0°，故x=0不合题意，舍去．
所以，存在满足题意的点Q为（2

3

，0）或（-2

3

，0）．…（14分）

点评：本题重点考查直线和圆的方程的应用，考查直线的倾斜角与斜率，考查正切函数的单调性，考查存在性问题，有综合性．