Question

已知圆C：（x+4）²+y²=4，圆D的圆心在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点（点A在点B上方），点P(-2

3

，0)．
（I）圆D的圆心在什么位置时，圆D与x轴相切；
（II）当圆心D在y轴的任意位置时，求直线AP与直线BP的倾斜角的差．

Answer 1

分析：（I）解：设D（0，a），则由题意可得

42+a2

=2+|a|，16+a²=4+4|a|+a²，解得a的值，可得D的坐标．
（II）设圆D的方程为x²+（y-a）²=r²（r＞0），则点A（0，a+r），点 B（0，a-r），再由圆D与与圆C外切点，可得

16+a2

=2+r，化简可得 a²=r²+4r-12．
设直线AP、BP的倾斜角分别为α，β，则tanα=

a+r

2 3

，tanβ=

α-r

2 3

，再利用两角差的正切公式求得tan（α-β）的值．再分①当A、B两点同在y轴的正半轴
（含原点）时，②当A、B两点同在y轴的负半轴时，③当A、B两点分别在y轴的正、负半轴时，三种情况，分别求得α-β的值．

解答：解：（I）设D（0，a）∵圆D与x轴相切，∴圆D半径r=|a|．又∵圆D与圆C外切，∴

42+a2

=2+|a|．…（2分）
∴16+a²=4+4|a|+a²，∴|a|=3，即a=±3．∴当D在（0，3）或（0，-3）时，圆D与x轴相切．…（4分）
（II）证明：设圆D的方程为x²+（y-a）²=r²（r＞0），令x=0可得y=a±r．
又点A在点B上方），则点A（0，a+r），点 B（0，a-r），再由圆D与与圆C外切，可得

16+a2

=2+r，
化简可得 a²=r²+4r-12．…（5分）
设直线AP、BP的倾斜角分别为α，β，则tanα=

a+r

2 3

，tanβ=

α-r

2 3

．…（6分）
∴tan(α-β)=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

a+r 2 3 - a-r 2 3

1+ a+r 2 3 × a-r 2 3

=

r 3

12+a2-r2 12

=

r

3

×

12

4r

=

3

．…（8分）
①当A、B两点同在y轴的正半轴（含原点）时，
有0＜α＜

π

2

，0≤β＜

π

2

，又点A在B的上方，∴α＞β，∴0＜α-β＜

π

2

，∴α-β=

π

3

．…（9分）
②当A、B两点同在y轴的负半轴时，
有

π

2

＜α＜π，

π

2

＜β＜π，α＞β，∴0＜α-β＜

π

2

，∴α-β=

π

3

．…（10分）
③当A、B两点分别在y轴的正、负半轴时，
有0＜α＜

π

2

，

π

2

＜β＜π，∴-π＜α-β＜0，∴α-β=-

2π

3

．…（11分）
综上，直线AP与直线BP的倾斜角的差为

π

3

或-

2π

3

．…（12分）

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系、两个圆的位置关系的应用，直线的倾斜角和斜率，属于中档题．