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(08年泉州一中适应性练习文)(12分)

        如图, PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形, PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.

   (1)求证:PB∥面EFG;

   (2)求异面直线EG与BD所成的角;

   (3)求点A到平面EFG的距离。

 

解析:解法一:

   (1)证明:取AB中点H,连结GH,HE,

∵E,F,G分别是线段PA、PD、CD的中点,

∴GH∥AD∥EF,

∴E,F,G,H四点共面. ……………………1分

又H为AB中点,

∴EH∥PB. ……………………………………2分

又EH面EFG,PB平面EFG,

∴PB∥平面EFG. ………………………………4分

 

 

(2)解:取BC的中点M,连结GM、AM、EM,则GM//BD,

∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD

所成的角.………………5分

     在Rt△MAE中,

     同理,…………………………6分

∴在△MGE中,

………………7分

故异面直线EG与BD所成的角为arccos,………………………………8分

 

 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),

P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).

   (1)证明:

     …………………………1分

    设

    即

   

     ……………3分

   

    ∴PB∥平面EFG. …………………………………………………………………… 4分

   (2)解:∵,…………………………………………5分

    ,……………………… 7分

故异面直线EG与BD所成的角为arccos,………………………………8分

(3)   

  ,            

设面的法向量

取法向量

A到平面EFG的距离=.…………………………12分

 

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