Question

11．已知数列{a_n}通项公式为a_n=At^n-1+Bn+1，其中A，B，t为常数，且t＞1，n∈N^*．等式（x²+x+2）¹⁰=b₀+b₁（x+1）+b₂（x+1）²+…+b₂₀（x+1）²⁰，其中b_i（i=0，1，2，…，20）为实常数．
（1）若A=0，B=1，求$\sum_{n=1}^{10}$a_nb_2n的值；
（2）若A=1，B=0，且$\sum_{n=1}^{10}$（2a_n-2ⁿ）b_2n=2¹¹-2，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）利用二项式展开定理比较可知：b_2n=${C}_{10}^{n}$（n=0，1，2，…，10），进而T=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$=0•${C}_{10}^{0}$+1•${C}_{10}^{1}$+2•${C}_{10}^{2}$+…+10•${C}_{10}^{10}$，利用倒序相加法、化简得：T=5•2¹⁰，进而计算可得结论；
（2）结合（2）中结论、化简可知：$\frac{2}{t}$（1+t）¹⁰-$\frac{2}{t}$-3¹⁰+1=0，进而计算可得结论．

解答 解：（1）（x²+x+2）¹⁰=[1+（x+1）²]¹⁰
=${C}_{10}^{0}$+${C}_{10}^{1}$（x+1）²+${C}_{10}^{2}$（x+1）⁴+…+${C}_{10}^{10}$（x+1）²⁰
=b₀+b₁（x+1）+b₂（x+1）²+…+b₂₀（x+1）²⁰，
比较可知：b_2n=${C}_{10}^{n}$（n=0，1，2，…，10），
而A=0、B=1时，a_n=At^n-1+Bn+1=n+1，
∴$\sum_{n=1}^{10}$a_nb_2n=$\sum_{n=1}^{10}$（n+1）${C}_{10}^{n}$=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$+$\sum_{n=1}^{10}$${C}_{10}^{n}$，
记T=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$=0•${C}_{10}^{0}$+1•${C}_{10}^{1}$+2•${C}_{10}^{2}$+…+10•${C}_{10}^{10}$，
另外也可写成T=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$=10•${C}_{10}^{10}$+…+2•${C}_{10}^{2}$+1•${C}_{10}^{1}$+0•${C}_{10}^{0}$，
两式相减得：2T=10•${C}_{10}^{10}$+…+10•${C}_{10}^{2}$+10•${C}_{10}^{1}$+10•${C}_{10}^{0}$
=10•（${C}_{10}^{10}$+…+${C}_{10}^{2}$+${C}_{10}^{1}$+${C}_{10}^{0}$）
=10•2¹⁰，
即T=5•2¹⁰，
∴$\sum_{n=1}^{10}$a_nb_2n=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$+$\sum_{n=1}^{10}$${C}_{10}^{n}$=5•2¹⁰+2¹⁰-1=6143；
（2）当A=1、B=0时，a_n=At^n-1+Bn+1=t^n-1+1，
结合（2）中结论可知：
$\sum_{n=1}^{10}$（2a_n-2ⁿ）b_2n=2$\sum_{n=1}^{10}$a_nb_2n-$\sum_{n=1}^{10}$2ⁿb_2n
=2$\sum_{n=1}^{10}$a_nb_2n-$\sum_{n=1}^{10}$2ⁿb_2n …①
=2[$\frac{1}{t}$（1+t）¹⁰-1+2¹⁰-1]-[（1+2）¹⁰-1]
=$\frac{2}{t}$（1+t）¹⁰-$\frac{2}{t}$+2¹¹-2-3¹⁰+1
=2¹¹-2，
即$\frac{2}{t}$（1+t）¹⁰-$\frac{2}{t}$-3¹⁰+1=0，…②
∵①为关于t的递增的式子，
∴关于t的方程最多只有一解，
而观察②可知，有一解t=2，
综上可知：t=2．

点评 本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，注意解题方法的积累，属于中档题．