Question

6．已知分段函数f（x）是奇函数，当x∈（0，+∞）时的解析式为y=x²+x+1，求函数f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 利用题意首先求得当x＜0时函数的解析式，然后结合奇函数的性质求得f（0）的值，最后将函数的解析式写出分段函数的形式．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，结合题意可得：
-f（x）=f（-x）=（-x）²+（-x）+1=x²-x+1，则f（x）=-x²+x-1
由奇函数的性质可知：f（0）=0，
据此可得：函数的解析式为：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+x-1，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的奇偶性，函数解析式的求解等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．