Question

设函数f（x）=ax+b，其中a，b为常数，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*，若f₃（x）=8x+21，则ab=

6

，f_n（x）=

2ⁿx+3×2ⁿ-3

．

Answer 1

分析：根据题意分别推出f₂（x），f₃（x）的解析式，又f₃（x）=8x+21，根据两多项式相等时，系数对应相等，即可列出关于a与b的方程，求出方程的解即可得到a与b的值，进而求出ab的值，再根据已知条件求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项．

解答：解：由f₁（x）=f（x）=ax+b，得到f₂（x）=f（f₁（x））=a（ax+b）+b=a²x+ab+b，
f₃（x）=f（f₂（x））=a[a（ax+b）+b]+b=a³x+a²b+ab+b，
即a³=8①，a²b+ab+b=21②，
由①解得：a=2，把a=2代入②解得：b=3，
则ab=6．
从而f（x）=2x+3，f₁（x）=f（f（x）），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），
∴f₁（x）=2x+3=2¹x+3•2¹-3
f₂（x）=4x+9=2²x+3•2²-3
f₃（x）=8x+21=2³x+3•2³-3
…
不妨猜想：f_n（x）=2ⁿx+3×2ⁿ-3
故答案为：6；2ⁿx+3×2ⁿ-3．

点评：此题考查学生会根据一系列等式推出一般性的规律，掌握两多项式相等时满足的条件，是一道基础题．