Question

（2006•广州一模）已知数列{x_n}满足下列条件：x₁=a，x₂=b，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数．
（Ⅰ）当λ＞0时，证明：x_n+1＞x_n（n∈N^*）；
（Ⅱ）当|λ|＜1时，求

lim

n→∞

xn．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设得x_n+1-x_n=λ（x_n-x_n-1），由x₂-x₁=b-a＞0，知：数列{x_n+1-x_n}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，由此能够证明x_n+1＞x_n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由x_n+1-λx_n=x_n-λx_n-1=…=x₂-λx₁=b-λa及x_n+1＞x_n（n∈N^*），知xn=

b-λa-(b-a)•λn-1

1-λ

，由|λ|＜1，知

lim

n→∞

λn-1=0，由此能求出

lim

n→∞

xn．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），λ为非零常数，
∴x_n+1-x_n=λ（x_n-x_n-1），
∵x₁=a，x₂=b，其中a、b为常数，且a＜b，
∴x₂-x₁=b-a＞0，
∴数列{x_n+1-x_n}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，
故xn+1-xn=(b-a)•λn-1，
∵λ＞0，
∴x_n+1-x_n＞0，
即x_n+1＞x_n（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵x₁=a，x₂=b，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），
其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数．
∴x_n+1-λx_n=x_n-λx_n-1=…=x₂-λx₁=b-λa，
即x_n+1-λx_n=b-λa，
∴λx_n=x_n+1-（b-λa），①
∵x_n+1＞x_n（n∈N^*），xn+1-xn=(b-a)•λn-1，
∴xn=xn+1-(b-a)•λn-1，②
②-①，得（1-λ）x_n=b-λa-（b-a）•λ^n-1，
∴xn=

b-λa-(b-a)•λn-1

1-λ

，
∵|λ|＜1，
∴

lim

n→∞

λn-1=0，
∴

lim

n→∞

xn=

lim

n→∞

b-λa-(b-a)•λn-1

1-λ

=

b-λa

1-λ

．

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意极限的灵活运用．