Question

如图，已知点P在圆柱OO₁的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA=2，∠AOP=120°，三棱锥A₁-APB的体积为

8

3

3

．
（1）求圆柱OO₁的表面积；
（2）求异面直线A₁B与OP所成角的大小．  （结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：（1）由题意可得AP=2

3

，BP=2，进而可得关于AA₁的等式，可得AA₁，代入表面积公式可得答案；
（2）取AA₁中点Q，连接OQ，PQ，可得∠POQ或它的补角为异面直线A₁B与OP所成的角，由余弦定理可得cos∠POQ=

PO2+OQ2-PQ2

2PO•OQ

，代入数值可得答案．

解答：解：（1）由题意，在△AOP中，OA=OP=2，∠AOP=120°，所以AP=2

3

…（1分）
在△BOP中，OB=OP=2，∠BOP=60°，所以BP=2…（2分）
∴VA1-APB=

1

3

S△APB•AA1=

1

3

•

1

2

•2

3

•2•AA1=

8

3

3

，解得AA₁=4，…（4分）
故S表=2π•22+2π•2•4=24π．…（6分）
（2）取AA₁中点Q，连接OQ，PQ，则OQ∥A₁B，
得∠POQ或它的补角为异面直线A₁B与OP所成的角．…（8分）
又AP=2

3

，AQ=AO=2，得OQ=2

2

，PQ=4，
由余弦定理得cos∠POQ=

PO2+OQ2-PQ2

2PO•OQ

=-

2

4

，…（10分）
得异面直线A₁B与OP所成的角为arc cos

2

4

．…（12分）

点评：本题考查圆柱的表面积，以及异面直线所成的角，属中档题．