Question

如图，已知点P在圆柱OO₁的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO₁的表面积为20π，OA=2，∠AOP=120°．
（1）求异面直线A₁B与AP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）求点A到平面A₁PB的距离．

Answer 1

分析：本题宜建立空间坐标系，用空间向量来解决求线面角证线线垂直，求点到面 距离．
（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO₁为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系，求出

A1B

与

AP

的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．
（2）用向量法求点到面的距离，先求出平面A₁PB的法向量，再求线段对应的向量在面的法向量的投影的长度即可．

解答：（1）解：以O为原点，分别以OB，OO₁为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，
建立空间直角坐标系．
由题意S_表=2π•2²+2π•2•AA₁=20π，解得AA₁=3．（2分）
易得相关点的坐标分别为：A（0，-2，0），P(

3

 ，1， 0)，A₁（0，-2，3），B（0，2，0）．
得

AP

=(

3

 ，3， 0)，

A1B

=(0，4 ，  -3)，（4分）
设

A1B

与

AP

的夹角为θ，异面直线A₁B与AP所成的角为α，
则cosθ=

A1B • AP

| A1B |•| AP |

=

2 3

5

＞0，得α=θ=arc cos

2 3

5

，（6分）
即异面直线A₁B与AP所成角的大小为arccos

2 3

5

．（7分）
（2）设平面A₁PB的法向量为

n

=(u，v，w)，则

n

⊥

A1B

，

n

⊥

BP

∵

A1B

=(0，4，-3)，

BP

=(

3

，-1，0)，

n

•

A1B

=0，

n

•

BP

=0
∴

4v-3w=0 3 u-v=0

?

w= 4 3 v u= 3 3 v

，（10分）
取v=3，得平面A₁PB的一个法向量为

n

=(

3

，3，4)，且|

n

|=2

7

，

A1A

=(0，0，-3)
所以点A到平面A₁PB的距离d=

| n • A1A |

| n |

=

12

2 7

=

6

7

7

．（14分）

点评：本考点是点、线、面间的距离计算、异面直线及其所成的角，本题宜建立空间坐标系，用空间向量来解决，故采用了向量法求点到面的距离，在做题时应根据题目的条件灵活选用解题的方法．