Question

如图，已知点P在圆柱OO₁的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO₁的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°．
（1）求三棱锥A₁-APB的体积．
（2）求异面直线A₁B与OP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：（1）由题意圆柱OO₁的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°建立关于圆柱高的方程求出AA₁=4，即得棱锥的高，再由，∠AOP=120°解出解出AP，进而解出BP，即可解出底面积，再棱锥的体积公式求体积即可；
（2）取AA₁中点Q，连接OQ，PQ，可证得∠POQ或它的补角为异面直线A₁B与OP所成的角，在三角形POQ中求异面直线所成的角即可．

解答：解：（1）由题意S_表=2π•2²+2π•2•AA₁=24π，
解得AA₁=4．（2分）
在△AOP中，OA=OP=2，∠AOP=120°，
所以AP=2

3

（3分）
在△BOP中，OB=OP=2，∠BOP=60°，
所以BP=2（4分）
VA1-APB=

1

3

S△APB•AA1（5分）
=

1

3

•

1

2

•2

3

•2•4=

8 3

3

（6分）
（2）取AA₁中点Q，连接OQ，PQ，则OQ∥A₁B，
得∠POQ或它的补角为异面直线A₁B与OP所成的角．（8分）
又AP=2

3

，AQ=AO=2，得OQ=2

2

，PQ=4，（10分）
由余弦定理得cos∠POQ=

PO2+OQ2-PQ2

2PO•OQ

=-

2

4

，（12分）
得异面直线A₁B与OP所成的角为arccos

2

4

．（14分）

点评：本题考查了求三棱锥的体积与求两异面直线所成的角，在圆柱这一背景下，考查这两个问题方式比较新颖，解答本题关键是正确理解这些几何图形之间的位置关系的转化．