Question

设函数f_n（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…-

x2n-1

2n-1

，n∈N^*，
（Ⅰ）研究函数f₂（x）的单调性并判断f₂（x）=0的实数解的个数；
（Ⅱ）判断f_n（x）=0的实数解的个数，并加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对函数求导，导函数是一个二次函数，配方整理看出导函数一定小于0，得到函数的单调性
（II）首求出导数，根据导数的正负看出函数的单调性，从而可得交点的个数．

解答：解：（Ⅰ）f₂（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

，则f₂′（x）=-1+x-x²=-（x-

1

2

）²-

3

4

＜0
∴函数f₂（x）在R上单调减
∵f₂（1）＞0，f₂（2）＜0
∴f₂（x）=0的实数解的个数是1个；
（Ⅱ）f_n（x）=0的实数解的个数是1个
求导函数可得f_n′（x）=-1+x-x²+…+x^2n-3-x^2n-2．
（1）若x=-1，则f_n′（x）=-（2n-1）＜0．
（2）若x=0，则f_n′（x）=-1＜0．
（3）若x≠-1，且x≠0时，则f_n′（x）=-

x2n-1+1

x+1

．
①当x＜-1时，x+1＜0，x^2n-1+1＜0，∴f_n′（x）＜0．
②当x＞-1时，f_n′（x）＜0
综合（1），（2），（3），得f_n′（x）＜0，
即f_n（x）在R单调递减．
又f_n（0）=1＞0，f_n（2）=（1-2）+（

22

2

-

23

3

）+…+（

22n-2

2n-2

-

22n-1

2n-1

）＜0
所以f_n（x）在（0，2）有唯一实数解，从而f_n（x）在R有唯一实数解．
综上，f_n（x）=0有唯一实数解．

点评：本题考查函数与方程的关系和导数的应用，本题解题的关键是由导数看出函数的单调性，根据单调性确定函数与横轴的交点个数．分类研究函数的单调性体现了分类讨论的思想