Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，点M的极坐标为（4，

π

2

），圆C以M为圆心，4为半径；又直线l的参数方程为

x= 1 2 t+1 y= 3 2 t+ 3

（t为参数）
（Ⅰ）求直线l和圆C的普通方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．若相交，则求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）消去参数t即可得到直线l的普通方程，把点M的极坐标（4，

π

2

），化为直角坐标，即可得出⊙M的直角坐标方程；
（II）先求出圆心M到直线l的距离，与半径半径即可得出⊙M与直线l相交，再利用弦长公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为

x= 1 2 t+1 y= 3 2 t+ 3

（t为参数），
由x=

1

2

t+1可得t=2x-2，代入y=

3

2

t+

3

消去t可得：

3

x-y=0．
∴直线l的方程为：

3

x-y=0．
由M的极坐标（4，

π

2

），可得x=4cos

π

2

=0，y=4sin

π

2

=4．即圆心M（0，4）．
∴⊙M的直角坐标方程为：x²+（y-4）²=16．
（Ⅱ）∵圆心M的直角坐标是（0，4），圆心M到直线l的距离d=

|0-4|

2

=2＜4，
∴直线l和圆C相交．
直线l被圆C截得弦长=2

42-22

=4

3

．

点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程、直线与圆相交的位置关系判定方法、弦长公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．