Question

已知向量

a

=（cosx，-

1

2

），

b

=（

3

sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期和最值；
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出f（x），再利用正弦函数的周期性、单调性即可得出；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=cosx•

3

sinx-

1

2

cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)．
最小正周期T=

2π

2

=π．
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)，最小正周期为π．
最大值和最小值分别为1，-1．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得，2kπ-

2π

6

≤2x≤

5π

6

+2kπ，即-

π

6

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ．
∴函数的单调增区间为[-

π

6

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的周期性与单调性，考查了计算能力，属于中档题．