Question

已知虚数z使得z₁=

z

1+z2

和z₂=

z2

1+z

都为实数，求z．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算,复数的基本概念

专题：数系的扩充和复数

分析：利用已知条件，化简通过复数是实数，求出两个复数，z₁=-1，z₂=-1，然后通过方程求解即可．

解答： 解：z₁=

z

1+z2

化为：z1+z1z2=z…①，z₂=

z2

1+z

化为：z2+z2z=z2…②，
②代入①可得：z₁+z₁（z₂+z₂z）=z，即z₁+z₁•z₂+（z₂z₁-1）•z=0，
∵z₁=

z

1+z2

和z₂=

z2

1+z

都为实数．
∴z₁z₂=1，z₁=-1，z₂=-1，
∴z²+z+1=0，∴z=

1

2

+

3

2

i，或者z=

1

2

-

3

2

i．

点评：本题考查复数的基本概念，复数方程的运算，这种题目可以出现在高考卷中，只要解题认真就能够得分的题目．