Question

设函数f（x）=mx²-（4+m²）x，其中m∈R且m＞0，区间D={x|f（x）＜0}，给定常数t∈（0，2），当2-t≤m≤2+t时，求区间D的长度的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先解不等式f（x）＜0，可得区间D，由区间长度定义可求得D的长度；然后设d（m）=

m2+4

m

，则d′（m）=

m2-4

m2

，令d′（m）=0，得m=4，根据t∈（0，2），判断出当2-t≤m≤2+t时，d（m）单调递减，进而求出区间D的长度的最大值即可．

解答： 解：因为方程mx²-（4+m²）x=0（m＞0）有两个实根x₁=0，x2=

m2+4

m

＞0，
故f（x）＜0的解集为{x|x₁＜x＜x₂}，
因此区间D=（0，

m2+4

m

），区间长度为

m2+4

m

；
设d（m）=

m2+4

m

，则d′（m）=

m2-4

m2

，
令d′（m）=0，得m=4，
由于0＜t＜2，
故当2-t≤m＜2+t时，d′（m）＜0，d（m）单调递减，
因此当2-t≤m≤2+t时，d（m）的最大值必定在m=2-t处取得，
即当m=2-t时，区间D的长度的最大值为

t2-4t+8

2-t

．

点评：本题主要考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，属于中档题．