Question

已知函数f（x）=

3

sinx+cosx （x∈R）
（1）求f（

5π

6

）的值；
（2）求f（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]上的最大值和最小值及相应的x值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和差的正弦公式即可得出；
（2）利用（1）的结论和正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解（1）函数f（x）=

3

sinx+cosx=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)=2sin(x+

π

6

)，
∴f（

5π

6

）=2sin(

5π

6

+

π

6

)=2sinπ=0．
（2）∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，∴-

π

3

≤x+

π

6

≤

2π

3

，∴-

3

2

≤sin(x+

π

6

)≤1，
从而当x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

3

时，f（x）_max=2．
而当x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

2

时，f（x）_min=-

3

．

点评：本题考查了两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于基础题．