Question

已知不等式ax²-3x+2＜0的解集为A={x|1＜x＜b}．
（1）求a，b的值．
（2）求函数f（x）=（2a+b）x+

25

(b-a)x+a

，（x∈A）的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,二次函数的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用二次不等式的解集，直接推出方程组，即可求a，b的值．
（2）化简函数f（x）=（2a+b）x+

25

(b-a)x+a

的表达式，（x∈A）利用基本不等式求出函数的最小值．

解答： 解：（1）由题意知，1，b是方程ax²-3x+2=0的根，且b＞1，
∴

a-3+2=0 ab2-3b+2=0

•…（2分）
解得：a=1，b=2…（4分）
（2）f(x)=(2+2)x+

25

(2-1)x+1

=4x+

25

x+1

=4(x+1)+

25

x+1

-4≥2

4(x+1)• 25 x+1

-4=16…（8分）
“=”成立当且仅当4(x+1)=

25

x+1

，即x=

3

2

∈A…（9分）
∴f（x）的最小值为16．…（10分）

点评：本题考查二次函数的性质，基本不等式的应用，函数的最值的求法．