Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），且经过定点P（1，

3

2

），M（x₀，y₀）为椭圆C上的动点，以点M为圆心，MF₂为半径作圆M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若圆M与y轴有两个不同交点，求点M横坐标x₀的取值范围；
（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M恒相切？若存在，求出定圆N的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题设知及椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，求出a=2．又c=1．由此能求出椭圆方程．
（2）先设M（x₀，y₀），得到圆M的半径r=

(x0-1)2+y02

，再利用圆心M到y轴距离d=|x₀|，结合圆M与y轴有两个交点时，则有r＞d，即可构造关于x₀不等式，从而解得点M横坐标的取值范围．
（3）存在定圆N：（x+1）²+y²=16与圆M恒相切，利用椭圆的定义，即可得出结论．

解答： 解：（1）由椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，
即2a=4，
∴a=2．
又c=1，
∴b²=a²-c²=3．
故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1

（2）设M（x₀，y₀），则圆M的半径r=

(x0-1)2+y02

，
圆心M到y轴距离d=|x₀|，
若圆M与y轴有两个交点则有r＞d即

(x0-1)2+y02

＞|x₀|，
化简得y02-2x0+1＞0．
∵M为椭圆上的点
∴得3x02+8x0-16＜0，
解得-4＜x₀＜

4

3

．
∵-2≤x₀≤2，
∴-2≤x₀＜

4

3

．
（3）存在定圆N：（x+1）²+y²=16与圆M恒相切，
其中定圆N的圆心为椭圆的左焦点F₁，半径为椭圆C的长轴长4．
∵由椭圆定义知，|MF₁|+|MF₂|=4，即|MF₁|=4-|MF₂|，
∴圆N与圆M恒内切．

点评：本题考查椭圆方程和直线与圆锥曲线的关系，综合性强，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．