Question

已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，且f（1）=3．
（1）求f（x）的解析式
（2）若x∈（-1，2）时，均有f（x）+m＜2，求m的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数奇偶性的定义，f（x）是偶函数，可得f（-x）=f（x），代入解析式得到b的值，通过f（1）=3求出a的值，然后求出函数的解析式．
（2）利用等价转化，求出函数的最值，即可求出m的范围．

解答： 解：（1）由已知函数f（x）是偶函数，所以有f（-x）=f（x），
即：（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c，
即：2bx=0，因为x∈R时，此等式恒成立，所以，b=0，
∵f（1）=3，∴3=1+c，c=2，
∴函数的解析式为：f（x）=x²+2．
（2）函数的开口向上，对称轴是y轴，x∈（-1，2）时，
f（x）最小值为f（0）=2，x∈[-1，2]时，函数的最大值为f（2）=6，
∴x∈（-1，2）时，函数的值域为：[2，6）．
又x∈（-1，2）时，均有f（x）+m＜2，
∴6+m＜2，解得m＜-4．

点评：本题考查函数奇偶性，以及代数恒等式成立的问题．本题在得到2bx=0时，是对于x∈R等式都成立．基本知识的考查．