Question

在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a=2，∠B-∠C=

π

2

，△ABC面积为

3

．   
（1）求证：sinA=cos2C；
（2）求边b的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由已知等式表示出B，再利用内角和定理表示出B，消去B得到A与C的关系式，利用诱导公式化简即可得证；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积及a的值代入得到关系式，再利用正弦定理表示出b，已知等式变形并利用诱导公式化简得到sinB=cosC，将得到的关系式代入bsinC=

3

中，化简求出tan2C的值，确定出C的度数，即可求出b的值．

解答： 解：（1）∵B-C=

π

2

，
∴B=C+

π

2

，
∵B=π-A-C，
∴A=

π

2

-2C，
则sinA=sin（

π

2

-2C）=cos2C；
（2）∵S=

1

2

absinC=

3

，a=2，
∴bsinC=

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得到b=

asinB

sinA

，
∵B=C+

π

2

，∴sinB=cosC，
∴b=

2cosC

sinA

，
将sinA=cos2C，b=

2cosC

sinA

代入bsinC=

3

得：

2sinCcosC

cos2C

=

3

，
整理得：

sin2C

cos2C

=tan2C=

3

，
∴2C=

π

3

，即C=

π

6

，
则b=

3

sinC

=2

3

．

点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．