Question

（2013•成都二模）巳知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)（a＞b＞0）以抛物线y²=8x的焦点为顶点，且离心率为

1

2

（I）求椭圆E的方程
（II）若F为椭圆E的左焦点，O为坐标原点，直线l：y=kx+m与椭圆E相交于A、B 两点，与直线x=-4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足

OP

=

OA

+

OB

，证明

OP

.

FQ

为定值并求出该值．

Answer 1

分析：（I）由抛物线的焦点可求得a，由

c

a

=

1

2

可求得c，再由b²=a²-c²可求得b；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线l方程、椭圆方程消掉y得x的二次方程，根据

OP

=

OA

+

OB

及韦达定理可用k、m表示点P坐标，代入椭圆方程可得关于k、m的方程①，由①及向量的数量积公式可求得

OP

.

FQ

为定值；

解答：解：（Ⅰ）抛物线y²=8x的焦点即为椭圆E的顶点，即a=2，
又

c

a

=

1

2

，所以c=1，b=

3

，
所以椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+m 3x2+4y2=12

⇒（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
由韦达定理，得x1+x2=

-8km

4k2+3

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

6m

4k2+3

，
将P（

-8km

4k2+3

，

6m

4k2+3

）代入椭圆E方程，得

64k2m2

4(4k2+3)2

+

36m2

3(4k2+3)2

=1，
整理，得4m²=4k²+3，
又F（-1，0），Q（-4，m-4k），
∴

FQ

=(-3，m-4k)，

OP

=(

-8km

4k2+3

，

6m

4k2+3

)，
故

FQ

•

OP

=

24km

4k2+3

+

6m(m-4k)

4k2+3

=

6m2

4k2+3

=

6m2

4m2

=

3

2

．

点评：本题考查椭圆方程、向量的数量积运算，考查方程思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．