Question

18．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）的离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点（2，$\sqrt{2}$）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K_OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）的离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点（2，$\sqrt{2}$）在C上，可得$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1$，解得a²=8，b²=4，所求椭圆C方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），
把直线y=kx+b代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$可得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-8=0，
故x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-2kb}{2{k}^{2}+1}$，y_M=kx_M+b=$\frac{b}{2{k}^{2}+1}$，
于是在OM的斜率为：K_OM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=$-\frac{1}{2k}$，即K_OM•k=$-\frac{1}{2}$．
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

点评 本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．