Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A₁A=4，A₁在底面ABC的射影为BC的中点，D是B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁D⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A₁-BD-B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA₁所在直线分别为x、y、z轴建系，通过$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{BC}$=0及线面垂直的判定定理即得结论；
（2）所求值即为平面A₁BD的法向量与平面B₁BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．

解答 （1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA₁所在直线分别为x、y、z轴建系．
则BC=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，A₁O=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
易知A₁（0，0，$\sqrt{14}$），B（$\sqrt{2}$，0，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），
A（0，$\sqrt{2}$，0），D（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{14}$），B₁（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{14}$），
$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{14}$），
$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{BC}$=（-2$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（0，0，$\sqrt{14}$），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=0，∴A₁D⊥OA₁，
又∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{BC}$=0，∴A₁D⊥BC，
又∵OA₁∩BC=O，∴A₁D⊥平面A₁BC；
（2）解：设平面A₁BD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}y=0}\\{-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{14}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{7}$，0，1），
设平面B₁BD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{14}z=0}\\{-\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{7}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{8}$，
又∵该二面角为钝角，
∴二面角A₁-BD-B₁的平面角的余弦值为-$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．