Question

19．在直角坐标系xOy中，曲线C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）

Answer 1

分析 （I）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=a}\\{y=\frac{{x}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，利用导数的运算法则可得：y′=$\frac{x}{2}$，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．
（II）存在符合条件的点（0，-a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线PM，PN的斜率分别为：k₁，k₂．直线方程与抛物线方程联立化为x²-4kx-4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k₁+k₂=$\frac{k（a+b）}{a}$．k₁+k₂=0?直线PM，PN的倾斜角互补?∠OPM=∠OPN．即可证明．

解答 解：（I）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=a}\\{y=\frac{{x}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，不妨取M$（2\sqrt{a}，a）$，N$（-2\sqrt{a}，a）$，
由曲线C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$可得：y′=$\frac{x}{2}$，
∴曲线C在M点处的切线斜率为$\frac{2\sqrt{a}}{2}$=$\sqrt{a}$，其切线方程为：y-a=$\sqrt{a}$$（x-2\sqrt{a}）$，化为$\sqrt{a}x-y-a=0$．
同理可得曲线C在点N处的切线方程为：$\sqrt{a}x+y+a=0$．
（II）存在符合条件的点（0，-a），下面给出证明：
设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线PM，PN的斜率分别为：k₁，k₂．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+a}\\{y=\frac{{x}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，化为x²-4kx-4a=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4a．
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-b}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-b}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（a-b）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{k（a+b）}{a}$．
当b=-a时，k₁+k₂=0，直线PM，PN的倾斜角互补，
∴∠OPM=∠OPN．
∴点P（0，-a）符合条件．

点评 本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．