Question

4．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e^x，其中e为自然对数的底数．
（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1-a）＜$\frac{f（x）}{x}$＜bg（x）+（1-b）．

Answer 1

分析 （1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）当x＞0时，$\frac{f（x）}{x}$＞ag（x）+1-a?f（x）＞axg（x）+（1-a）x，$\frac{f（x）}{x}$＜bg（x）+1-b?f（x）＜bxg（x）+（1-b）x，设函数h（x）=f（x）-cxg（x）-（1-c）x，通过导数判断单调性，即可得证．

解答 解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
即有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
f（x）+g（x）=e^x，f（-x）+g（-x）=e^-x，
即为-f（x）+g（x）=e^-x，
解得f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x），
则当x＞0时，e^x＞1，0＜e^-x＜1，f（x）＞0；
g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）＞$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=1，
则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）证明：f′（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）=g（x），
g′（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）=f（x），
当x＞0时，$\frac{f（x）}{x}$＞ag（x）+1-a?f（x）＞axg（x）+（1-a）x，
$\frac{f（x）}{x}$＜bg（x）+1-b?f（x）＜bxg（x）+（1-b）x，
设函数h（x）=f（x）-cxg（x）-（1-c）x，
h′（x）=f′（x）-c（g（x）+xg′（x））-（1-c）
=g（x）-cg（x）-cxf（x）-（1-c）=（1-c）（g（x）-1）-cxf（x），
①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0），
即有f（x）＞cxg（x）+（1-c）x，故$\frac{f（x）}{x}$＞ag（x）+1-a成立；
②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x＞0），
即有f（x）＜cxg（x）+（1-c）x，故$\frac{f（x）}{x}$＜bg（x）+1-b成立．
综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1-a）＜$\frac{f（x）}{x}$＜b g（x）+（1-b）．

点评 本题考查函数的奇偶性的运用，主要考查函数的解析式的求法和不等式的证明，同时考查指数函数的单调性和基本不等式的运用，以及导数的运用：判断单调性，属于中档题．