Question

14．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为$\frac{1}{2}$c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）²+（y-1）²=$\frac{5}{2}$的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x²+4y²=4b²，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b²=3，即可得到椭圆方程．

解答 解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy-bc=0，
则原点到直线的距离为d=$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$c，即为a=2b，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x²+4y²=4b²，①
由题意可得圆心M（-2，1）是线段AB的中点，则|AB|=$\sqrt{10}$，
易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得
（1+4k²）x²+8k（1+2k）x+4（1+2k）²-4b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{-8k（1+2k）}{1+4{k}^{2}}$．x₁x₂=$\frac{4（1+2k）^{2}-4{b}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
由M为AB的中点，可得x₁+x₂=-4，得$\frac{-8k（1+2k）}{1+4{k}^{2}}$=-4，解得k=$\frac{1}{2}$，
从而x₁x₂=8-2b²，于是|AB|=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$•|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{10（{b}^{2}-2）}$=$\sqrt{10}$，解得b²=3，
则有椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．