Question

9．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum _{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum _{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum _{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum _{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中w_i=$\sqrt{x}$_i，$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum _{i=1}^{8}w{\;}_{i}$
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d$\sqrt{x}$哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u₁ v₁），（u₂ v₂）…..（u_n v_n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{1}-\overline{u}）（{v}_{1}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{1}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据散点图，即可判断出，
（Ⅱ）先建立中间量w=$\sqrt{x}$，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；
（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d$\sqrt{x}$适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，先建立y关于w的线性回归方程，由于$\widehat{d}$=$\frac{108.8}{1.6}$=68，
$\widehat{c}$=$\overline{y}$-$\widehat{d}$$\overline{w}$=563-68×6.8=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为$\widehat{y}$=100.6+68w，
因此y关于x的回归方程为$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利润z的预报值$\widehat{z}$=576.6×0.2-49=66.32，
（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值$\widehat{z}$=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
当$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．

点评 本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．