Question

4．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{{{（x+r）}^2}}}$（a＞0，r＞0）
（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；
（2）若$\frac{a}{r}$=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．

Answer 1

分析 （1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间；
（2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点，计算即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{ax}{{{{（x+r）}^2}}}$（a＞0，r＞0），
∴x≠-r，即f（x）的定义域为（-∞，-r）∪（-r，+∞）．
又∵f（x）=$\frac{ax}{{{{（x+r）}^2}}}$=$\frac{ax}{{x}^{2}+2rx+{r}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{a（{x}^{2}+2rx+{r}^{2}）-ax（2x+2r）}{（{x}^{2}+2rx+{r}^{2}）^{2}}$=$\frac{a（r-x）（x+r）}{（x+r）^{4}}$，
∴当x＜-r或x＞r时，f′（x）＜0；当-r＜x＜r时，f′（x）＞0；
因此，f（x）的单调递减区间为：（-∞，-r）、（r，+∞），递增区间为：（-r，r）；
（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，
∴x=r是f（x）的极大值点，
∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）=$\frac{ar}{（2r）^{2}}$=$\frac{a}{4r}$=$\frac{400}{4}$=100．

点评 本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题．